Tofauti Kati ya Mfuatano wa Hesabu na Mfuatano wa Kijiometri

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-17 23:47

Mfuatano wa Hesabu dhidi ya Mfuatano wa Kijiometri

Utafiti wa ruwaza za nambari na tabia zao ni utafiti muhimu katika uwanja wa hisabati. Mara nyingi mifumo hii inaweza kuonekana katika asili na hutusaidia kuelezea tabia zao katika mtazamo wa kisayansi. Mfuatano wa hesabu na mfuatano wa kijiometri ni miundo miwili ya msingi ambayo hutokea kwa nambari, na mara nyingi hupatikana katika matukio asilia.

Mfuatano ni seti ya nambari zilizoagizwa. Idadi ya vipengee katika mfuatano vinaweza kuwa na mwisho au isiyo na kikomo.

Mengi zaidi kuhusu Mfuatano wa Hesabu (Maendeleo ya Hesabu)

Mfuatano wa hesabu unafafanuliwa kama mfuatano wa nambari wenye tofauti ya mara kwa mara kati ya kila neno linalofuatana. Pia inajulikana kama maendeleo ya hesabu.

Mfuatano wa Hesabu ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; ambapo a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, na kadhalika.}

Ikiwa neno la awali ni₁ na tofauti ya kawaida ni d, basi neno la n^{th la mfuatano limetolewa na;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Kwa kuchukua matokeo hapo juu zaidi, neno la n^{th linaweza kutolewa pia kama;}

a_n =a_m + (n-m)d, ambapo _{m ni neno nasibu katika mlolongo wa kwamba n > m.}

Seti ya nambari sawia na seti ya nambari zisizo za kawaida ni mifano rahisi zaidi ya mfuatano wa hesabu, ambapo kila mfuatano una tofauti ya kawaida (d) ya 2.

Idadi ya istilahi katika mfuatano inaweza kuwa isiyo na kikomo au yenye kikomo. Katika hali isiyo na kikomo (n → ∞), mlolongo huwa na ukomo kulingana na tofauti ya kawaida (a_{n → ±∞). Ikiwa tofauti ya kawaida ni chanya (d > 0), mlolongo huwa chanya infinity na, kama tofauti ya kawaida ni hasi (d < 0), inaelekea infinity hasi. Ikiwa masharti yana kikomo, mfuatano huo pia una kikomo.}

Jumla ya maneno katika mfuatano wa hesabu inajulikana kama mfululizo wa hesabu: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{na S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] inatoa thamani ya mfululizo (S}n)

Mengi zaidi kuhusu Mfuatano wa Kijiometri (Maendeleo ya Kijiometri)

Mfuatano wa kijiometri unafafanuliwa kama mfuatano ambapo mgawo wa istilahi zozote mbili zinazofuatana ni sawa. Hii pia inajulikana kama maendeleo ya kijiometri.

Mfuatano wa kijiometri ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; ambapo a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, na kadhalika, ambapo r ni nambari halisi.}

Ni rahisi kuwakilisha mfuatano wa kijiometri kwa kutumia uwiano wa kawaida (r) na neno la awali (a). Kwa hivyo mfuatano wa kijiometri ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Aina ya jumla ya masharti n^th yaliyotolewa na_n =a₁r ^n-1. (Kupoteza usajili wa neno la awali ⇒ a_n =ar^n-1)

Mfuatano wa kijiometri pia unaweza kuwa na kikomo au usio na kikomo. Ikiwa idadi ya maneno ni ya mwisho, mlolongo unasemekana kuwa na mwisho. Na ikiwa masharti hayana kikomo, mlolongo unaweza kuwa usio na mwisho au usio na mwisho kulingana na uwiano r. Uwiano wa kawaida huathiri sifa nyingi katika mfuatano wa kijiometri.

r > o	0 < r < +1	Msururu huungana – uozo wa kielelezo, yaani an → 0, n → ∞
	r=1	Msururu wa mara kwa mara, yaani an=mara kwa mara
	r > 1	Mfuatano unatofautiana - ukuaji wa kielelezo, yaani an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Msururu unazunguka, lakini huungana
	r=1	Mfuatano unapishana na haubadilika, yaani an=±mara kwa mara
	r < -1	Mfuatano unapishana na hutofautiana. yaani an → ±∞, n → ∞
r=0	Mfuatano ni mfuatano wa sufuri

N. B: Katika visa vyote vilivyo hapo juu, a₁ > 0; ikiwa₁ < 0, ishara zinazohusiana na_{n zitageuzwa.}

Muda kati ya midundo ya mpira hufuata mfuatano wa kijiometri katika muundo bora, na ni mfuatano wa kuunganika.

Jumla ya masharti ya mfuatano wa kijiometri inajulikana kama mfululizo wa kijiometri; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Jumla ya mfululizo wa kijiometri inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); ambapo a ni neno la awali na r ni uwiano.}

Ikiwa uwiano, r ≤ 1, mfululizo utaungana. Kwa mfululizo usio na kikomo, thamani ya muunganisho inatolewa na S_n=a/(1-r)

Kuna tofauti gani kati ya Hesabu na Mfuatano/Maendeleo ya Kijiometri?

• Katika mfuatano wa hesabu, istilahi zozote mbili zinazofuatana zina tofauti ya kawaida (d) ilhali, katika mfuatano wa kijiometri, istilahi zozote mbili zinazofuatana huwa na mgawo wa kudumu (r).

• Katika mfuatano wa hesabu, tofauti ya maneno ni ya mstari, yaani, mstari ulionyooka unaweza kuchorwa kupitia pointi zote. Katika mfululizo wa kijiometri, tofauti ni kielelezo; kukua au kuoza kulingana na uwiano wa kawaida.

• Mifuatano yote isiyo na kikomo ya hesabu ni tofauti, ilhali misururu ya kijiometri isiyo na kikomo inaweza kuwa tofauti au kuunganika.

• Mfululizo wa kijiometri unaweza kuonyesha oscillation ikiwa uwiano r ni hasi ilhali mfululizo wa hesabu hauonyeshi oscillation