Derivative vs Integral
Utofautishaji na ujumuishaji ni shughuli mbili za kimsingi katika Calculus. Wana matumizi mengi katika nyanja kadhaa, kama vile Hisabati, uhandisi na Fizikia. Vyeti vitokanavyo na vyote viwili vinajadili tabia ya utendaji au tabia ya chombo halisi ambayo tunavutiwa nayo.
Derivative ni nini?
Tuseme y=ƒ(x) na x0 iko katika kikoa cha ƒ. Kisha limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx inaitwa kiwango cha papo hapo cha mabadiliko ya ƒ katika x0, toa kikomo hiki kipo kabisa. Kikomo hiki pia kinaitwa derivative ya at na inaonyeshwa na ƒ(x).
Thamani ya kinyago cha chaguo za kukokotoa f katika nukta kiholela x katika kikoa cha chaguo za kukokotoa imetolewa na limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Hii inaashiriwa na mojawapo ya maneno yafuatayo: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Kwa chaguo za kukokotoa zilizo na vigeu kadhaa, tunafafanua sehemu ya derivative. Derivative ya sehemu ya chaguo za kukokotoa iliyo na vigeu kadhaa ni derivative yake kwa heshima na mojawapo ya vigeu hivyo, ikizingatiwa kuwa vigeu vingine vingine ni viambajengo. Alama ya sehemu ya derivati ni ∂.
Kijiometriki kitokeo cha chaguo za kukokotoa kinaweza kufasiriwa kama mteremko wa mduara wa chaguo za kukokotoa ƒ(x).
Muhimu ni nini?
Kuunganisha au kupinga utofautishaji ni mchakato wa kinyume wa utofautishaji. Kwa maneno mengine, ni mchakato wa kutafuta kazi ya asili wakati derivative ya kazi inatolewa. Kwa hivyo, kiungo muhimu au kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa ƒ(x) ikiwa, ƒ(x)=F (x) kinaweza kufafanuliwa kama chaguo za kukokotoa F (x), kwa x zote katika kikoa cha ƒ(x).
Neno ∫ƒ(x) dx huashiria kitoleo cha chaguo za kukokotoa ƒ(x). Ikiwa ƒ(x)=F (x), basi ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, ambapo C ni thabiti, ∫ƒ(x) dx inaitwa kiunganishi kisichojulikana cha ƒ(x).
Kwa kitendakazi chochote ƒ, ambacho si lazima kiwe kisicho hasi, na kimefafanuliwa kwenye muda [a, b], a∫b ƒ(x) dx inaitwa kiunganishi dhahiri ƒ kwenye [a, b].
Muhimu dhahiri a∫bƒ(x) dx ya chaguo za kukokotoa ƒ(x) inaweza kutafsiriwa kijiometri kama eneo la eneo linalopakana na curve ƒ(x), mhimili wa x, na mistari x=a na x=b.
Kuna tofauti gani kati ya Derivative na Integral?
• Nyingine ni matokeo ya upambanuzi wa mchakato, ilhali muhimu ni matokeo ya ujumuishaji wa mchakato.
• Nyingi ya chaguo za kukokotoa huwakilisha mteremko wa mkunjo katika hatua yoyote ile, huku sehemu muhimu ikiwakilisha eneo lililo chini ya mkunjo.
