Derivative vs Differential
Katika kikokotoo cha tofauti, kinyago na tofauti za chaguo za kukokotoa zinahusiana kwa karibu lakini zina maana tofauti sana, na hutumika kuwakilisha vitu viwili muhimu vya hisabati vinavyohusiana na vitendakazi vinavyoweza kutofautishwa.
Derivative ni nini?
Nyenzo ya chaguo za kukokotoa hupima kasi ambayo thamani ya chaguo za kukokotoa hubadilika ingizo lake linapobadilika. Katika kazi nyingi za kutofautiana, mabadiliko katika thamani ya kazi inategemea mwelekeo wa mabadiliko ya maadili ya vigezo vya kujitegemea. Kwa hiyo, katika hali hiyo, mwelekeo maalum huchaguliwa na kazi hutofautishwa katika mwelekeo huo. Derivative hiyo inaitwa derivative ya mwelekeo. Viingilio kiasi ni aina maalum ya viingilio vya mwelekeo.
Nyenzo ya kitendakazi cha thamani ya vekta f kinaweza kufafanuliwa kama kikomo [lateksi]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] popote ilipo kabisa. Kama ilivyotajwa hapo awali, hii inatupa kiwango cha ongezeko la kazi f kando ya mwelekeo wa vekta u. Kwa upande wa kitendakazi chenye thamani moja, hii inapunguza hadi fasili inayojulikana ya derivative, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Kwa mfano, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] inaweza kutofautishwa kila mahali, na derivativeti ni sawa na kikomo, [latex]\\lim_{h \\ hadi 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ambayo ni sawa na [latex]3x^{2}+4[/latex]. Vito vya kukokotoa kama vile [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] vinapatikana kila mahali. Kwa mtiririko huo ni sawa na vitendakazi [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Hii inajulikana kama derivative ya kwanza. Kwa kawaida derivati ya kwanza ya chaguo za kukokotoa f huashiriwa na f (1) Sasa kwa kutumia nukuu hii, inawezekana kufafanua viasili vya mpangilio wa juu zaidi. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ni derivative ya mwelekeo wa mpangilio wa pili, na inaashiria n th derivative by f (n) kwa kila n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], inafafanua n th derivative..
Tofauti ni nini?
Tofauti ya chaguo za kukokotoa huwakilisha badiliko katika chaguo za kukokotoa kuhusiana na mabadiliko katika vigeu vinavyojitegemea. Katika nukuu ya kawaida, kwa chaguo maalum la kukokotoa f la kigezo kimoja x, jumla ya tofauti ya mpangilio 1 df inatolewa na, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Hii ina maana kwamba kwa mabadiliko yasiyo na kikomo katika x (yaani d x), kutakuwa na mabadiliko ya f (1)(x)d x katika f.
Kutumia vikomo mtu anaweza kuishia na ufafanuzi huu kama ifuatavyo. Chukulia ∆ x ni badiliko la x katika hatua ya kiholela x na ∆ f ni badiliko linalolingana katika chaguo la kukokotoa f. Inaweza kuonyeshwa kuwa ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, ambapo ϵ ni kosa. Sasa, kikomo ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (kwa kutumia ufafanuzi uliotajwa hapo awali wa derivative) na kwa hivyo, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Kwa hivyo, inawezekana hitimisha kwamba, ∆ x→ 0 ϵ=0. Sasa, kuashiria ∆ x→ 0 ∆ f kama d f na ∆ x→ 0 ∆ x kama d x ufafanuzi wa tofauti hupatikana kwa ukali.
Kwa mfano, tofauti ya chaguo za kukokotoa [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ni [latex](3x^{2}+4)dx[/mpira].
Katika hali ya chaguo za kukokotoa za viambatisho viwili au zaidi, jumla ya tofauti za chaguo za kukokotoa hufafanuliwa kama jumla ya tofauti katika maelekezo ya kila moja ya vigeu vinavyojitegemea. Kihesabu, inaweza kutajwa kama [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\ partial f}{\ partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Kuna tofauti gani kati ya derivative na tofauti?
• Derivative inarejelea kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa ilhali tofauti inarejelea badiliko halisi la chaguo la kukokotoa, wakati kigezo huru kinapobadilika.
• Kinyumeshi kimetolewa na [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], lakini tofauti imetolewa na [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
