Differentiation vs Derivative
Katika calculus tofauti, derivative na upambanuzi unahusiana kwa karibu, lakini ni tofauti sana, na hutumiwa kuwakilisha dhana mbili muhimu za hisabati zinazohusiana na utendaji.
Derivative ni nini?
Nyenzo ya chaguo za kukokotoa hupima kasi ambayo thamani ya chaguo za kukokotoa hubadilika ingizo lake linapobadilika. Katika kazi nyingi za kutofautiana, mabadiliko katika thamani ya kazi inategemea mwelekeo wa mabadiliko ya maadili ya vigezo vya kujitegemea. Kwa hiyo, katika hali hiyo, mwelekeo maalum huchaguliwa na kazi hutofautishwa katika mwelekeo huo. Derivative hiyo inaitwa derivative ya mwelekeo. Viingilio kiasi ni aina maalum ya viingilio vya mwelekeo.
Nyenzo ya kitendakazi cha thamani ya vekta f kinaweza kufafanuliwa kama kikomo [lateksi]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] popote ilipo kabisa. Kama ilivyotajwa hapo awali, hii inatupa kiwango cha ongezeko la kazi f kando ya mwelekeo wa vekta u. Kwa upande wa kitendakazi chenye thamani moja, hii inapunguza hadi fasili inayojulikana ya derivative, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Kwa mfano, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] inaweza kutofautishwa kila mahali, na derivativeti ni sawa na kikomo, [latex]\\lim_{h \\ hadi 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ambayo ni sawa na [latex]3x^{2}+4[/latex]. Vito vya kukokotoa kama vile [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] vinapatikana kila mahali. Kwa mtiririko huo ni sawa na vitendakazi [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Hii inajulikana kama derivative ya kwanza. Kwa kawaida derivati ya kwanza ya chaguo za kukokotoa f huashiriwa na f (1) Sasa kwa kutumia nukuu hii, inawezekana kufafanua viasili vya mpangilio wa juu zaidi. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ni derivative ya mwelekeo wa mpangilio wa pili, na inaashiria n th derivative by f (n) kwa kila n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], inafafanua n th derivative..
Kutofautisha ni nini?
Utofautishaji ni mchakato wa kutafuta kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa. Kiendeshaji cha D kinachoonyeshwa na D kinawakilisha upambanuzi katika baadhi ya miktadha. Ikiwa x ni kigezo huru, basi D ≡ d/dx. Kiendeshaji cha D ni kiendeshaji laini, yaani kwa vitendakazi viwili vyovyote vinavyoweza kutofautishwa f na g na c thabiti, vifuatavyo sifa kushikilia.
Mimi. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Kwa kutumia kiendeshaji cha D, sheria zingine zinazohusiana na utofautishaji zinaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 na D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Kwa mfano, F(x)=x 2dhambi x inapotofautishwa kwa kuzingatia x kwa kutumia sheria zilizotolewa, jibu litakuwa 2 x dhambi x + x2cos x.
Kuna tofauti gani kati ya utofautishaji na derivative?• Nyingine inarejelea kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa • Utofautishaji ni mchakato wa kutafuta derivative ya chaguo za kukokotoa. |
