Orthogonal vs Orthonormal
Katika hisabati, maneno mawili orthogonal na orthonormal hutumiwa mara kwa mara pamoja na seti ya vekta. Hapa, neno ‘vekta’ linatumika kwa maana ya kwamba ni kipengele cha nafasi ya vekta – muundo wa aljebra unaotumika katika aljebra ya mstari. Kwa majadiliano yetu, tutazingatia nafasi ya ndani ya bidhaa - nafasi ya vekta V pamoja na bidhaa ya ndani iliyofafanuliwa kwenye V.
Kwa mfano, kwa bidhaa ya ndani, nafasi ni seti ya vekta zote za nafasi za 3-dimensional pamoja na bidhaa ya kawaida ya nukta.
Othogonal ni nini?
Sehemu ndogo isiyo na kitu ya S ya nafasi ya ndani ya bidhaa V inasemekana kuwa ya mwonekano, ikiwa na tu ikiwa kwa kila tofauti u, v katika S, [u, v]=0; yaani, bidhaa ya ndani ya u na v ni sawa na scalar sifuri katika nafasi ya ndani ya bidhaa.
Kwa mfano, katika seti ya vekta zote za nafasi zenye mwelekeo-3, hii ni sawa na kusema kwamba, kwa kila jozi mahususi ya vekta za nafasi p na q katika S, p na q zinafanana. (Kumbuka kwamba bidhaa ya ndani katika nafasi hii ya vekta ni bidhaa ya nukta. Pia, bidhaa ya nukta ya vekta mbili ni sawa na 0 ikiwa na ikiwa tu vekta mbili ziko sambamba.)
Zingatia seti ya S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, ambayo ni sehemu ndogo ya vekta za nafasi za 3-dimensional. Zingatia kwamba (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Kwa hiyo, seti ya S ni ya orthogonal. Hasa, vekta mbili zinasemekana kuwa za orthogonal ikiwa bidhaa yao ya ndani ni 0. Kwa hivyo, kila jozi ya vekta katika Sis orthogonal.
Ni nini kawaida?
Sehemu ndogo isiyo na kitu S ya nafasi ya ndani ya bidhaa V inasemekana kuwa ya kawaida ikiwa na tu ikiwa S ni ya orthogonal na kwa kila vekta u katika S, [u, u]=1. Kwa hivyo, inaweza kuonekana kuwa kila seti ya kawaida ni ya orthogonal lakini si kinyume chake.
Kwa mfano, katika seti ya vivekta vyote vya nafasi 3-dimensional, hii ni sawa na kusema kwamba, kwa kila jozi mahususi ya vekta za nafasi p na q katika S, p na q zinafanana, na kwa kila p katika S, |p|=1. Hii ni kwa sababu hali [p, p]=1 inapungua hadi p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, ambayo ni sawa na |p |=1. Kwa hivyo, kwa kuzingatia seti ya orthogonal tunaweza kuunda seti ya kawaida inayolingana kwa kugawa kila vekta kwa ukubwa wake.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ni seti ndogo ya kawaida ya seti ya vekta zote za nafasi za 3-dimensional. Ni rahisi kuona kwamba ilipatikana kwa kugawanya kila vekta katika seti ya S, kwa ukubwa wao.
Kuna tofauti gani kati ya orthogonal na orthonormal?
- Sehemu ndogo isiyo na kitu S ya nafasi ya ndani ya bidhaa V inasemekana kuwa ya orthogonal, ikiwa na tu ikiwa kwa kila tofauti u, v katika S, [u, v]=0. Hata hivyo, ni ya kawaida, ikiwa na ikiwa tu hali ya ziada - kwa kila vekta u katika S, [u, u]=1 imeridhika.
- Seti yoyote ya kawaida ni ya orthogonal lakini si kinyume chake.
- Seti yoyote ya orthogonal inalingana na seti ya kipekee ya orthonormal lakini seti ya kawaida inaweza kulingana na seti nyingi za orthogonal.
