Tofauti Kati ya Mlingano wa Mstari na Mlingano wa Quadratic

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Linear Equation vs Quadratic Equation

Katika hisabati, milinganyo ya aljebra ni milinganyo ambayo huundwa kwa kutumia polimanomia. Wakati imeandikwa kwa uwazi milinganyo itakuwa ya umbo P(x)=0, ambapo x ni vekta ya n vigeu visivyojulikana na P ni polinomia. Kwa mfano, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 ni mlinganyo wa aljebra wa viambishi viwili vilivyoandikwa kwa uwazi. Pia, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ ni mlinganyo wa aljebra, lakini kwa fomu isiyo wazi. Itachukua fomu ya Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, mara moja imeandikwa kwa uwazi.}

Sifa muhimu ya mlingano wa aljebra ni shahada yake. Inafafanuliwa kuwa nguvu ya juu zaidi ya istilahi zinazotokea katika mlinganyo. Iwapo neno lina vigeu viwili au zaidi, jumla ya vipeo vya kila kigezo kitachukuliwa kuwa nguvu ya neno hilo. Zingatia kwamba kulingana na ufafanuzi huu P(x, y)=0 ni wa digrii 4 huku Q(x, y, z)=0 ni digrii 5.

Milingano ya mstari na milinganyo ya quadratic ni aina mbili tofauti za milinganyo ya aljebra. Kiwango cha mlingano ndicho kipengele kinachozitofautisha na milinganyo mingine ya aljebra.

Mlingano wa mstari ni nini?

Mlingano wa mstari ni mlingano wa aljebra wa shahada ya 1. Kwa mfano, 4x + 5=0 ni mlingano wa mstari wa kigezo kimoja. x + y + 5z=0 na 4x=3w + 5y + 7z ni milinganyo ya mstari ya vigezo 3 na 4 mtawalia. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari wa vigeu vya n utachukua fomu m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Hapa, x_i's ni vigeu visivyojulikana, m_i's na b ni nambari halisi ambapo kila moja ya m_i si sifuri.

Mlingano kama huu unawakilisha ndege kubwa katika nafasi ya n-dimensional Euclidean. Hasa, mlinganyo wa mstari unaotofautiana wa mbili unawakilisha mstari ulionyooka katika ndege ya Cartesian na mlingano wa mstari unaobadilika tatu unawakilisha ndege kwenye nafasi 3 ya Euclidean.

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Mlingano wa quadratic ni mlinganyo wa aljebra wa shahada ya pili. x² + 3x + 2=0 ni mlingano wa quadratic moja tofauti. x² + y² + 3x=4 na 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 ni mifano ya milinganyo ya quadratic ya viambajengo 2 na 3 mtawalia.}

Katika hali moja ya kutofautisha, umbo la jumla la mlinganyo wa quadratic ni shoka² + bx + c=0. Ambapo a, b, c ni nambari halisi ambazo kwazo 'a' sio sifuri. Kibaguzi ∆=(b^{2 – 4ac) huamua asili ya mizizi ya mlingano wa quadratic. Mizizi ya mlingano itakuwa dhahiri tofauti, halisi inayofanana na changamano kulingana na ∆ ni chanya, sifuri na hasi. Mizizi ya mlingano inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia fomula x=(- b ± √∆) / 2a.}

Katika hali mbili zinazobadilika, umbo la jumla litakuwa ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, na hii inawakilisha conic (parabola, hyperbola au ellipse) katika ndege ya Cartesian. Katika vipimo vya juu, aina hii ya milinganyo inawakilisha milinganyo inayojulikana kama quadrics.}

Kuna tofauti gani kati ya milinganyo ya mstari na quadratic?

• Mlingano wa mstari ni mlingano wa aljebra wa shahada ya 1, ilhali mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa aljebra wa shahada 2.

• Katika nafasi ya Euclidean ya n-dimensional, nafasi ya suluhu ya mlingano wa mstari unaobadilika-badilika ni wa hali ya juu huku ile ya mlinganyo wa n-aina ya quadratic ni uso wa quadric.