Tofauti Kati ya Mlingano wa Mstari na Mlingano Usio na Mstari

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Mlinganyo wa Mstari dhidi ya Mlinganyo Usio wa Mstari

Katika hisabati, milinganyo ya aljebra ni milinganyo, ambayo huundwa kwa kutumia polimanomia. Wakati imeandikwa kwa uwazi milinganyo itakuwa ya umbo P(x)=0, ambapo x ni vekta ya n vigeu visivyojulikana na P ni polinomia. Kwa mfano, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 ni mlinganyo wa aljebra katika vigeu viwili vilivyoandikwa kwa uwazi.. Pia, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ ni mlinganyo wa aljebra, lakini katika hali isiyo wazi na itachukua fomu Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, mara moja imeandikwa kwa uwazi.}

Sifa muhimu ya mlingano wa aljebra ni shahada yake. Inafafanuliwa kuwa nguvu ya juu zaidi ya istilahi zinazotokea katika mlinganyo. Iwapo neno lina vigeu viwili au zaidi, jumla ya vipeo vya kila kigezo kitachukuliwa kuwa nguvu ya neno hilo. Zingatia kwamba kulingana na ufafanuzi huu P(x, y)=0 ni ya digrii 5, wakati Q(x, y, z)=0 ni ya digrii 5.

Milingano ya mstari na milinganyo isiyo ya mstari ni sehemu mbili zilizobainishwa kwenye seti ya milinganyo ya aljebra. Kiwango cha mlingano ndicho kipengele kinachozitofautisha kutoka kwa nyingine.

Mlingano wa mstari ni nini?

Mlingano wa mstari ni mlingano wa aljebra wa shahada ya 1. Kwa mfano, 4x + 5=0 ni mlingano wa mstari wa kigezo kimoja. x + y + 5z=0 na 4x=3w + 5y + 7z ni milinganyo ya mstari ya vigezo 3 na 4 mtawalia. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari wa vigeu wa n utachukua fomu m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Hapa, x}i_{'s ni vigeu visivyojulikana, m}i_{'s na b ni nambari halisi ambapo kila moja ya m}i _{si sifuri.}

Mlingano kama huu unawakilisha ndege kubwa katika nafasi ya n-dimensional Euclidean. Hasa, mlinganyo wa mstari unaotofautiana wa mbili unawakilisha mstari ulionyooka katika ndege ya Cartesian na mlingano wa mstari unaobadilika tatu unawakilisha ndege kwenye nafasi 3 ya Euclidean.

Mlinganyo usio na mstari ni nini?

Mlingano wa quadratic ni mlinganyo wa aljebra, ambao si wa mstari. Kwa maneno mengine, mlinganyo usio na mstari ni mlinganyo wa aljebra wa digrii 2 au zaidi. x² + 3x + 2=0 ni mlinganyo mmoja usio na mstari. x² + y³+ 3xy=4 na 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 ni mifano ya milinganyo isiyo ya mstari ya viambajengo 3 na 4 mtawalia.}

Mlinganyo usio na mstari wa shahada ya pili unaitwa mlinganyo wa quadratic. Ikiwa shahada ni 3, basi inaitwa equation ya cubic. Milinganyo ya shahada ya 4 na 5 inaitwa milinganyo ya quartic na quintic mtawalia. Imethibitishwa kuwa hakuna mbinu ya uchanganuzi ya kutatua mlinganyo wowote usio na mstari wa shahada ya 5, na hii ni kweli kwa shahada yoyote ya juu pia. Milinganyo isiyo ya mstari inayoweza kutengenezea inawakilisha nyuso za juu ambazo si ndege kubwa.

Kuna tofauti gani kati ya mlingano wa mstari na mlingano usio wa mstari?

• Mlinganyo wa mstari ni mlingano wa aljebra wa shahada ya 1, lakini mlinganyo usio na mstari ni mlinganyo wa aljebra wa digrii 2 au zaidi.

• Ingawa mlingano wowote wa mstari unaweza kutatulika kiuchanganuzi, sivyo ilivyo katika milinganyo isiyo ya mstari.

• Katika nafasi ya Euclidean ya n-dimensional, nafasi ya suluhu ya mlingano wa mstari unaobadilika-badilika ni wa hali ya juu, ilhali ile ya mlinganyo wa n-kigeu kisicho na mstari ni uso mkuu, ambao si ndege kubwa. (Quadrics, nyuso za ujazo na kadhalika.)