Tofauti Kati ya Riemann Integral na Lebesgue Integral

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Muunganisho ni mada kuu katika calculus. Kwa maana pana, ujumuishaji unaweza kuonekana kama mchakato wa kinyume wa utofautishaji. Wakati wa kuiga matatizo ya ulimwengu halisi, ni rahisi kuandika misemo inayohusisha derivatives. Katika hali kama hii, operesheni ya ujumuishaji inahitajika ili kupata chaguo la kukokotoa, ambalo lilitoa kiingilio fulani.

Kutoka upande mwingine, ujumuishaji ni mchakato, ambao unajumlisha bidhaa ya chaguo za kukokotoa ƒ(x) na δx, ambapo δx huwa na kikomo fulani. Hii ndio sababu, tunatumia ishara ya ujumuishaji kama ∫. Alama ∫ kwa kweli ni kile tunachopata kwa kunyoosha herufi s kurejelea jumla.

Riemann Integral

Zingatia chaguo za kukokotoa y=ƒ(x). Mchanganyiko wa y kati ya a na b, ambapo a na b ni za seti x, imeandikwa kama _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Hii inaitwa kiunganishi dhahiri cha kitendakazi kimoja kinachothaminiwa na endelevu y=ƒ(x) kati ya a na b. Hii inatoa eneo chini ya curve kati a na b. Hii pia inaitwa Riemann muhimu. Riemann muhimu iliundwa na Bernhard Riemann. Muunganisho wa Riemann wa utendaji endelevu unatokana na kipimo cha Yordani, kwa hivyo, pia inafafanuliwa kama kikomo cha hesabu za Riemann za chaguo la kukokotoa. Kwa chaguo za kukokotoa zenye thamani halisi zinazofafanuliwa katika muda uliofungwa, sehemu muhimu ya Riemann ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na kizigeu x₁, x₂, …, x n _{iliyofafanuliwa kwenye muda [a, b] na t}1_{, t}2_{, …, t n}, ambapo x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 kwa kila i ε {1, 2, …, n}, Jumla ya Riemann inafafanuliwa kama Σ_{i=o hadi n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue ni aina nyingine ya kiambatanisho, ambayo inashughulikia aina mbalimbali za matukio kuliko Riemann integral inavyofanya. Muunganisho wa lebesgue ulianzishwa na Henri Lebesgue mwaka wa 1902. Muunganisho wa Legesgue unaweza kuchukuliwa kama mjumuisho wa muunganisho wa Riemann.

Kwa nini tunahitaji kujifunza kipengele kingine muhimu?

Hebu tuzingatie kipengele cha utendaji ƒ_{A (x)=}{_{0 kama, x si ε A}^{1 ikiwa, x ε A}kwenye seti A. Kisha mseto finyu wa mchanganyiko wa vitendaji sifa, ambao unafafanuliwa kama F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) inaitwa chaguo za kukokotoa rahisi ikiwa E} i _{inaweza kupimika kwa kila i. Mchanganyiko wa Lebesgue wa F (x) juu ya E unaashiria kwa} E_{∫ ƒ(x)dx. Chaguo za kukokotoa F (x) haiwezi kuunganishwa na Riemann. Kwa hivyo Lebesgue integral ni neno jipya la Riemann integral, ambalo lina vizuizi fulani kwenye utendakazi zinazopaswa kuunganishwa.}

Kuna tofauti gani kati ya Riemann Integral na Lebesgue Integral?

· Muunganisho wa Lebesgue ni aina ya jumla ya mchanganyiko wa Riemann.

· Muunganisho wa Lebesgue huruhusu kutoendelea kuhesabika, ilhali muunganisho wa Riemann huruhusu idadi fulani ya kutoendelea.