Muunganisho dhidi ya Tofauti
Muunganisho na Utofautishaji ni dhana mbili za kimsingi katika calculus, ambazo huchunguza mabadiliko. Calculus ina aina mbalimbali za matumizi katika nyanja nyingi kama vile sayansi, uchumi au fedha, uhandisi na n.k.
Tofauti
Utofautishaji ni utaratibu wa aljebra wa kukokotoa viasili. Nyingine ya chaguo za kukokotoa ni mteremko au kipenyo cha mkunjo (grafu) katika sehemu yoyote ile. Gradient ya mkunjo katika sehemu yoyote ile ni upinde rangi wa tanjenti inayotolewa kwa mkunjo huo katika sehemu husika. Kwa mikondo isiyo ya mstari, kipenyo cha mpito kinaweza kutofautiana katika sehemu tofauti kwenye mhimili. Kwa hiyo, ni vigumu kuhesabu gradient au mteremko wakati wowote. Mchakato wa utofautishaji ni muhimu katika kukokotoa upinde rangi katika hatua yoyote.
Ufafanuzi mwingine wa kiingilio ni, "mabadiliko ya mali kuhusiana na mabadiliko ya kitengo cha mali nyingine."
Acha f(x) iwe kitendakazi cha kigezo huru cha x. Ikiwa mabadiliko madogo (∆x) yanasababishwa katika kutofautiana kwa kujitegemea x, mabadiliko yanayolingana ∆f(x) yanasababishwa katika chaguo la kukokotoa f(x); basi uwiano ∆f(x)/∆x ni kipimo cha kasi ya mabadiliko ya f(x), kuhusiana na x. Thamani ya kikomo ya uwiano huu, kama ∆x inaelekea sifuri, lim∆x→0(f(x)/∆x) inaitwa derivative ya kwanza ya chaguo za kukokotoa f(x), kwa heshima na x; kwa maneno mengine, mabadiliko ya papo hapo ya f(x) katika hatua fulani x.
Muungano
Muunganisho ni mchakato wa kukokotoa ama kiunganishi dhahiri au kisichojulikana. Kwa chaguo la kukokotoa halisi f(x) na muda uliofungwa [a, b] kwenye mstari halisi, kiungo hakika, a∫b f(x), hufafanuliwa kama eneo kati ya grafu ya chaguo za kukokotoa, mhimili mlalo na mistari miwili ya wima katika sehemu za mwisho za muda. Wakati muda maalum haujatolewa, inajulikana kama muunganisho usiojulikana. Kiunganishi dhahiri kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia vinza-derivatives.
Kuna tofauti gani kati ya Utangamano na Utofautishaji?
Tofauti kati ya ujumuishaji na utofautishaji ni aina kama ya tofauti kati ya "squaring" na "kuchukua mizizi ya mraba." Ikiwa tutaweka mraba nambari chanya kisha tuchukue mzizi wa mraba wa matokeo, thamani ya mzizi wa mraba itakuwa nambari uliyoiongeza. Vile vile, ukitumia muunganisho kwenye matokeo, uliyopata kwa kutofautisha chaguo la kukokotoa linaloendelea f(x), itarejesha kwenye chaguo la kukokotoa la awali na kinyume chake.
Kwa mfano, acha F(x) iwe kiungo cha chaguo za kukokotoa f(x)=x, kwa hivyo, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, ambapo c ni kiholela kiholela. Wakati wa kutofautisha F(x) kuhusiana na x tunapata, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, kwa hivyo, derivative ya F(x) ni sawa na f(x).
Muhtasari
– Utofautishaji hukokotoa mteremko wa mkunjo, huku ujumuishaji hukokotoa eneo chini ya mkunjo.
– Ujumuishaji ni mchakato wa kinyume wa utofautishaji na kinyume chake.
