Tofauti Kati ya Bernoulli na Binomial

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Bernoulli vs Binomial

Mara nyingi sana katika maisha halisi, tunakutana na matukio, ambayo yana matokeo mawili pekee ambayo ni muhimu. Kwa mfano, ama tupitie usaili wa kazi ambao tulikabiliana nao au tushindwe usaili huo, ama safari yetu ya ndege itaondoka kwa wakati au imechelewa. Katika hali hizi zote, tunaweza kutumia dhana ya uwezekano ‘majaribio ya Bernoulli’.

Bernoulli

Jaribio la nasibu lenye matokeo mawili tu yanayowezekana yenye uwezekano p na q; ambapo p+q=1, inaitwa majaribio ya Bernoulli kwa heshima ya James Bernoulli (1654-1705). Kwa kawaida matokeo mawili ya jaribio husemekana kuwa 'Mafanikio' au 'Kufeli'.

Kwa mfano, ikiwa tunazingatia kurusha sarafu, kuna matokeo mawili yanayoweza kutokea, ambayo yanasemekana kuwa 'kichwa' au 'mkia'. Ikiwa tuna nia ya kichwa kuanguka; uwezekano wa kufaulu ni 1/2, ambayo inaweza kuashiria P (mafanikio)=1/2, na uwezekano wa kutofaulu ni 1/2. Vile vile, tunapokunja kete mbili, ikiwa tunavutiwa tu na jumla ya kete mbili kuwa 8, P (Mafanikio)=5/36 na P (kutofaulu)=1- 5/36=31/36.

Mchakato wa Bernoulli ni tukio la mfuatano wa majaribio ya Bernoulli kwa kujitegemea; kwa hivyo, uwezekano wa kufaulu unabaki kuwa sawa kwa kila jaribio. Kwa ziada, kwa kila jaribio uwezekano wa kushindwa ni 1-P(mafanikio).

Kwa kuwa njia mahususi ni huru, uwezekano wa tukio katika mchakato wa Bernoulli unaweza kuhesabiwa kwa kuchukua bidhaa ya uwezekano wa kufaulu na kushindwa. Kwa mfano, ikiwa uwezekano wa kufaulu [P(S)] unaashiria p na uwezekano wa kutofaulu [P (F)] unaonyeshwa na q; kisha P(SSSF)=p³q na P(FFSS)=p²q²

Binomial

Majaribio ya Bernoulli yanaongoza kwa usambazaji wa binomial. Mara nyingi, watu huchanganyikiwa na maneno mawili 'Bernoulli' na 'Binomial'. Usambazaji wa Binomial ni jumla ya majaribio ya Bernoulli huru na yaliyosambazwa sawasawa. Usambazaji wa nambari mbili unaonyeshwa na nukuu b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, ambapo C(n, k) inajulikana kama mgawo wa binomial. Mgawo wa binomial C(n, k) unaweza kukokotolewa kwa kutumia fomula n!/k!(n-k)!.}

Kwa mfano, ikiwa bahati nasibu ya papo hapo yenye 25% ya tikiti za kushinda inauzwa kati ya watu 10, uwezekano wa kununua tiketi ya kushinda ni b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0.75)^{9 ≈ 9 x 0.25 x 0.075 ≈ 0.169}

Kuna tofauti gani kati ya Bernoulli na Binomial?

• Jaribio la Bernoulli ni jaribio la nasibu lenye matokeo mawili pekee yanayowezekana.
• Jaribio la Binomial ni mfuatano wa majaribio ya Bernoulli yaliyofanywa kwa kujitegemea.