Vigezo Nasibu dhidi ya Usambazaji wa Uwezekano
Majaribio ya takwimu ni majaribio ya nasibu ambayo yanaweza kurudiwa kwa muda usiojulikana kwa seti ya matokeo yanayojulikana. Vigezo vya nasibu na usambaaji wa uwezekano vinahusishwa na majaribio kama haya. Kwa kila kigezo cha nasibu, kuna usambaaji wa uwezekano unaohusishwa unaofafanuliwa na chaguo za kukokotoa zinazoitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji.
Tofauti nasibu ni nini?
Kigezo cha nasibu ni chaguo la kukokotoa ambalo hukabidhi thamani za nambari kwa matokeo ya jaribio la takwimu. Kwa maneno mengine, ni chaguo la kukokotoa linalofafanuliwa kutoka kwa nafasi ya sampuli ya jaribio la takwimu hadi seti ya nambari halisi.
Kwa mfano, zingatia jaribio la nasibu la kugeuza sarafu mara mbili. Matokeo yanayowezekana ni HH, HT, TH na TT (H - vichwa, T - hadithi). Acha mabadiliko ya X iwe idadi ya vichwa vilivyozingatiwa kwenye jaribio. Kisha, X inaweza kuchukua maadili 0, 1 au 2, na ni tofauti ya nasibu. Hapa, mabadiliko ya nasibu X yataweka ramani ya seti S={HH, HT, TH, TT} (nafasi ya mfano) hadi seti {0, 1, 2} kwa njia ambayo HH imechorwa kwa 2, HT na TH. zimechorwa hadi 1 na TT imechorwa hadi 0. Katika nukuu ya utendakazi, hii inaweza kuandikwa kama, X: S → R ambapo X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 na X(TT)=0.
Kuna aina mbili za viambajengo nasibu: tofauti na endelevu, kwa hivyo idadi ya thamani zinazowezekana ambazo kigezo cha nasibu kinaweza kudhaniwa kuwa kinaweza kuhesabika au la. Katika mfano uliotangulia, kigezo cha nasibu X ni kigezo kisicho na mpangilio maalum kwani {0, 1, 2} ni seti yenye kikomo. Sasa, zingatia jaribio la takwimu la kupata uzani wa wanafunzi darasani. Acha Y iwe kigezo cha nasibu kinachofafanuliwa kama uzito wa mwanafunzi. Y inaweza kuchukua thamani yoyote halisi ndani ya muda maalum. Kwa hivyo, Y ni kigezo cha nasibu kisichobadilika.
Usambazaji wa uwezekano ni nini?
Usambazaji wa uwezekano ni chaguo la kukokotoa linalofafanua uwezekano wa kigezo nasibu kuchukua thamani fulani.
Kitendakazi kinachoitwa kitendakazi cha mgawanyo limbikizi (F) kinaweza kubainishwa kutoka kwa seti ya nambari halisi hadi seti ya nambari halisi kama F(x)=P(X ≤ x) (uwezekano wa X kuwa chini ya au sawa na x) kwa kila tokeo linalowezekana x. Sasa kazi ya kukokotoa ya usambazaji wa X katika mfano wa kwanza inaweza kuandikwa kama F(a)=0, ikiwa a<0; F(a)=0.25, ikiwa 0≤a<1; F(a)=0.75, ikiwa 1≤a<2 na F(a)=1, ikiwa a≥2.
Ikiwa na vigeu vya nasibu tofauti, chaguo za kukokotoa zinaweza kubainishwa kutoka kwa seti ya matokeo yanayowezekana hadi seti ya nambari halisi kwa njia ambayo ƒ(x)=P(X=x) (uwezekano wa X kuwa sawa na x) kwa kila tokeo linalowezekana x. Chaguo hili maalum la kukokotoa ƒ linaitwa uwezekano wa utendaji kazi wa wingi wa kigezo cha X bila mpangilio. Sasa uwezekano wa utendakazi wa wingi wa X katika mfano mahususi wa kwanza unaweza kuandikwa kama ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, na ƒ(x)=0 vinginevyo. Kwa hivyo, utendakazi wa wingi wa uwezekano pamoja na chaguo za kukokotoa za msambao limbikizi zitaelezea uwezekano wa usambazaji wa X katika mfano wa kwanza.
Katika hali ya vibadilishio visivyo na mpangilio vinavyoendelea, chaguo la kukokotoa liitwalo chaguo la kukokotoa la uwezekano wa msongamano (ƒ) linaweza kufafanuliwa kama ƒ(x)=dF(x)/dx kwa kila x ambapo F ni limbikizo la kukokotoa la usambazaji wa kutofautiana kwa nasibu inayoendelea. Ni rahisi kuona kwamba chaguo hili la kukokotoa linatosheleza ∫ƒ(x)dx=1. Chaguo za kukokotoa za uwezekano wa msongamano pamoja na chaguo za kukokotoa za usambaaji hufafanua uwezekano wa usambazaji wa kigezo kisichobadilika kisichobadilika. Kwa mfano, mgawanyo wa kawaida (ambao ni usambazaji wa uwezekano unaoendelea) unaelezwa kwa kutumia chaguo za kukokotoa za uwezekano ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) µ)]2/(2σ2)).
Kuna tofauti gani kati ya Vigezo Nasibu na Usambazaji Uwezekano?
• Tofauti nasibu ni chaguo la kukokotoa linalohusisha thamani za sampuli ya nafasi na nambari halisi.
• Usambazaji wa uwezekano ni chaguo la kukokotoa linalohusisha thamani ambazo kigezo bila mpangilio kinaweza kuchukua kwa uwezekano husika wa kutokea.
