Idadi ya Watu dhidi ya Sampuli ya Mkengeuko Wastani
Katika takwimu, fahirisi kadhaa hutumiwa kuelezea seti ya data inayolingana na mwelekeo wake mkuu, mtawanyiko na mkunjo. Mkengeuko wa kawaida ni mojawapo ya hatua za kawaida za usambazaji wa data kutoka katikati ya seti ya data.
Kwa sababu ya matatizo ya kiutendaji, haitawezekana kutumia data kutoka kwa watu wote wakati nadharia tete inapojaribiwa. Kwa hivyo, tunatumia thamani za data kutoka kwa sampuli kufanya makisio kuhusu idadi ya watu. Katika hali kama hii, hawa huitwa wakadiriaji kwani wanakadiria maadili ya paramu ya idadi ya watu.
Ni muhimu sana kutumia makadirio yasiyopendelea katika makisio. Mkadiriaji anasemekana kutokuwa na upendeleo ikiwa thamani inayotarajiwa ya mkadiriaji huyo ni sawa na kigezo cha idadi ya watu. Kwa mfano, tunatumia wastani wa sampuli kama kikadiriaji kisichopendelea cha wastani wa idadi ya watu. (Kihisabati, inaweza kuonyeshwa kuwa thamani inayotarajiwa ya wastani wa sampuli ni sawa na wastani wa idadi ya watu). Katika kesi ya kukadiria mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu, sampuli ya mkengeuko wa kawaida ni kikadirio kisichopendelea pia.
Mchepuko wa kiwango cha idadi ya watu ni nini?
Wakati data kutoka kwa watu wote inaweza kuzingatiwa (kwa mfano katika sensa) inawezekana kukokotoa mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu. Ili kukokotoa mkengeuko wa kawaida wa idadi ya watu, kwanza mikengeuko ya thamani za data kutoka kwa wastani wa idadi ya watu huhesabiwa. Mzizi wa maana ya mraba (wastani wa quadratic) wa mikengeuko inaitwa mkengeuko wa kawaida wa idadi ya watu.
Katika darasa la wanafunzi 10, data kuhusu wanafunzi inaweza kukusanywa kwa urahisi. Ikiwa dhana inajaribiwa kwa idadi hii ya wanafunzi, basi hakuna haja ya kutumia maadili ya sampuli. Kwa mfano, uzani wa wanafunzi 10 (katika kilo) hupimwa kuwa 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 na 79. Kisha uzito wa wastani wa watu kumi (katika kilo) ni (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, ambayo ni 71 (katika kilo). Hii ndio wastani wa idadi ya watu.
Sasa ili kuhesabu mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu, tunakokotoa mikengeuko kutoka kwa wastani. Mikengeuko husika kutoka kwa wastani ni (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 na (79 – 71)=8. Jumla ya miraba ya kupotoka ni (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu ni √(366/10)=6.05 (katika kilo). 71 ndio uzani wa wastani wa wanafunzi wa darasa na 6.05 ndio mchepuko kamili wa uzani kutoka 71.
Sampuli ya mkengeuko wa kawaida ni nini?
Wakati data kutoka kwa sampuli (ya ukubwa n) inatumiwa kukadiria vigezo vya idadi ya watu, sampuli ya mkengeuko wa kawaida huhesabiwa. Kwanza mikengeuko ya thamani za data kutoka kwa wastani wa sampuli huhesabiwa. Kwa kuwa wastani wa sampuli hutumiwa badala ya wastani wa idadi ya watu (ambayo haijulikani), kuchukua wastani wa quadratic haifai. Ili kulipa fidia kwa matumizi ya sampuli wastani, jumla ya mraba wa kupotoka imegawanywa na (n-1) badala ya n. Sampuli ya mkengeuko wa kawaida ndio msingi wa hii. Katika alama za hisabati, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, ambapo S ni sampuli ya mkengeuko wa kawaida, ẍ ni sampuli ya wastani na xi's ni pointi za data.
Sasa chukulia kuwa, katika mfano uliopita, idadi ya watu ni wanafunzi wa shule nzima. Kisha, darasa litakuwa sampuli tu. Sampuli hii ikitumika katika ukadiriaji, sampuli ya mkengeuko wa kawaida utakuwa √(366/9)=6.38 (katika kilo) kwani 366 iligawanywa na 9 badala ya 10 (saizi ya sampuli). Ukweli wa kuzingatia ni kwamba hii haijahakikishwa kuwa thamani halisi ya kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu. Ni makadirio yake tu.
Kuna tofauti gani kati ya mkengeuko wa kawaida wa idadi ya watu na sampuli ya mkengeuko wa kawaida?
• Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu ni thamani kamili ya kigezo inayotumiwa kupima mtawanyiko kutoka katikati, ilhali sampuli ya mkengeuko wa kawaida ni ukadiriaji wake usiopendelea.
• Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu huhesabiwa wakati data yote inayohusu kila mtu ya watu inajulikana. Vinginevyo, sampuli ya mkengeuko wa kawaida huhesabiwa.
• Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu umetolewa na σ=√{ ∑(xi-µ)2// n} ambapo µ ni maana ya idadi ya watu na n ni saizi ya watu lakini sampuli ya mkengeuko wa kawaida unatolewa na S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} ambapo ẍ ni wastani wa sampuli na n ni saizi ya sampuli.
