Parallelogram dhidi ya Mstatili
Parallelogram na mstatili ni pande nne. Jiometri ya takwimu hizi zilijulikana kwa mwanadamu kwa maelfu ya miaka. Somo hili limeelezewa kwa uwazi katika kitabu "Elements" kilichoandikwa na mwanahisabati Mgiriki Euclid.
Parallelogram
Sambamba inaweza kufafanuliwa kuwa kielelezo cha kijiometri chenye pande nne, zenye pande tofauti zinazolingana. Kwa usahihi zaidi ni quadrilateral na jozi mbili za pande zinazofanana. Hali hii sambamba inatoa sifa nyingi za kijiometri kwa sambamba.
Upande wa nne ni msambamba iwapo sifa zifuatazo za kijiometri zitapatikana.
• Jozi mbili za pande zinazopingana ni sawa kwa urefu. (AB=DC, AD=BC)
• Jozi mbili za pembe zinazopingana ni sawa kwa ukubwa. ([latex]D\kofia{A}B=B\kofia{C}D, A\kofia{D}C=A\kofia{B}C[/latex])
• Ikiwa pembe za karibu ni za ziada [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\kofia{D}C + B\kofia{C}D=B\kofia {C}D + A\kofia{B}C=A\kofia{B}C + D\kofia{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Jozi ya pande, ambazo zinapingana, zinalingana na urefu sawa. (AB=DC & AB∥DC)
• Mishala hugawanyika kila mmoja (AO=OC, BO=OD)
• Kila mlalo hugawanya sehemu ya pembe nne katika pembetatu mbili za mfuatano. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Zaidi ya hayo, jumla ya miraba ya kando ni sawa na jumla ya miraba ya diagonal. Hii wakati mwingine hujulikana kama sheria ya usawazishaji na ina matumizi mengi katika fizikia na uhandisi. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Kila moja ya sifa zilizo hapo juu inaweza kutumika kama sifa, pindi tu inapothibitishwa kuwa sehemu ya pembe nne ni msambamba.
Eneo la parallelogramu linaweza kukokotwa kwa bidhaa ya urefu wa upande mmoja na urefu kwa upande mwingine. Kwa hivyo, eneo la parallelogramu linaweza kutajwa kama
Eneo la parallelogramu=msingi × urefu=AB×h
Eneo la msambamba halitegemei umbo la msambamba mahususi. Inategemea tu urefu wa msingi na urefu wa pembeni.
Ikiwa pande za msambamba zinaweza kuwakilishwa na vekta mbili, eneo hilo linaweza kupatikana kwa ukubwa wa bidhaa ya vekta (bidhaa ya msalaba) ya vekta mbili zilizo karibu.
Ikiwa pande za AB na AD zinawakilishwa na vekta ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) na ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) mtawalia, eneo la parallelogram inatolewa na [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} kulia |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ambapo α ni pembe kati ya [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] na [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Zifuatazo ni baadhi ya sifa za hali ya juu za parallelogramu;
• Eneo la parallelogramu ni mara mbili ya eneo la pembetatu linaloundwa na diagonal zake zozote.
• Eneo la parallelogramu limegawanywa nusu kwa mstari wowote unaopita katikati.
• Ubadilishaji wowote wa upatanishi usioharibika huchukua sambamba hadi msambamba mwingine
• Sambamba ina ulinganifu wa mzunguko wa mpangilio 2
• Jumla ya umbali kutoka sehemu yoyote ya ndani ya sanjari hadi kando inategemea eneo la uhakika
Mstatili
Prabatari yenye pembe nne za kulia inajulikana kama mstatili. Ni hali maalum ya msambamba ambapo pembe kati ya pande zote mbili zinazokaribiana ni pembe za kulia.
Mbali na sifa zote za parallelogramu, sifa za ziada zinaweza kutambuliwa wakati wa kuzingatia jiometri ya mstatili.
• Kila pembe kwenye wima ni pembe ya kulia.
• Milalo ni sawa kwa urefu, na hugawanyika kila mmoja. Kwa hivyo, sehemu zilizogawanywa pia ni sawa kwa urefu.
• Urefu wa diagonal unaweza kukokotwa kwa kutumia nadharia ya Pythagoras:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Fomula ya eneo hupunguzwa hadi bidhaa ya urefu na upana.
Eneo la mstatili=urefu × upana
• Sifa nyingi za ulinganifu zinapatikana kwenye mstatili, kama vile;
– Mstatili ni wa mzunguko, ambapo wima zote zinaweza kuwekwa kwenye mzunguko wa duara.
– Ni ya usawa, ambapo pembe zote ni sawa.
– Ni ya pekee, ambapo pembe zote ziko ndani ya obiti ya ulinganifu sawa.
– Ina ulinganifu wa kiakisi na ulinganifu wa mzunguko.
Kuna tofauti gani kati ya Parallelogram na Mstatili?
• Parallelogram na mstatili ni pande nne. Mstatili ni kipochi maalum cha msambamba.
• Eneo la yoyote linaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula base ×urefu.
• Kwa kuzingatia vilaza;
– Mishale ya parallelogramu hugawanyika kila mmoja, na kugawanya parallelogramu ili kuunda pembetatu mbili zenye mfuatano.
– Mishale ya mstatili ni sawa kwa urefu na kugawanyika mara mbili; sehemu zilizogawanywa ni sawa kwa urefu. Milalo inagawanya mstatili kuwa pembetatu mbili za mfuatano wa kulia.
• Kwa kuzingatia pembe za ndani;
– Pembe za ndani zinazopingana za parallelogramu ni sawa kwa ukubwa. Pembe mbili za ndani zinazokaribiana ni za ziada
– Pembe zote nne za ndani za mstatili ni pembe za kulia.
• Kwa kuzingatia pande;
– Katika sambamba, jumla ya miraba ya pande ni sawa na jumla ya miraba ya mshazari (sheria ya Sambamba)
– Katika mistatili, jumla ya miraba ya pande mbili zinazokaribiana ni sawa na mraba wa ulalo kwenye ncha. (Sheria ya Pythagoras)
