Associative vs Commutative
Katika maisha yetu ya kila siku, tunapaswa kutumia nambari wakati wowote tunapohitaji kupata kipimo cha kitu. Katika duka la mboga, kwenye kituo cha mafuta, na hata jikoni, tunahitaji kuongeza, kupunguza, na kuzidisha idadi mbili au zaidi. Kutoka kwa mazoezi yetu, tunafanya mahesabu haya bila bidii. Hatutambui au kuhoji kwa nini tunafanya shughuli hizi kwa njia hii mahususi. Au kwa nini mahesabu haya hayawezi kufanywa kwa njia tofauti. Jibu limefichwa katika jinsi shughuli hizi zinavyofafanuliwa katika uga wa hisabati wa aljebra.
Katika aljebra, operesheni inayohusisha idadi mbili (kama vile nyongeza) inafafanuliwa kuwa operesheni ya jozi. Kwa usahihi zaidi ni operesheni kati ya vitu viwili kutoka kwa seti na vitu hivi huitwa 'operand'. Operesheni nyingi katika hisabati ikijumuisha shughuli za hesabu zilizotajwa hapo awali na zile zinazokumbana na nadharia iliyowekwa, aljebra ya mstari na mantiki ya hisabati zinaweza kufafanuliwa kuwa shughuli za mfumo wa jozi.
Kuna seti ya sheria zinazosimamia zinazohusu utendakazi mahususi wa mfumo wa jozi. Sifa za ushirika na za kubadilishana ni sifa mbili za kimsingi za utendakazi wa jozi.
Mengi zaidi kuhusu Commutative Property
Tuseme utendakazi fulani wa mfumo wa jozi, unaoonyeshwa kwa ishara ⊗, unafanywa kwenye vipengele A na B. Ikiwa utaratibu wa uendeshaji hauathiri matokeo ya operesheni, basi operesheni inasemekana kuwa ya mabadiliko. yaani ikiwa A ⊗ B=B ⊗ A basi operesheni ni ya kubadilika.
Ongezeko la shughuli za hesabu na kuzidisha ni za kubadilisha. Mpangilio wa nambari zilizojumuishwa au kuzidishwa pamoja haziathiri jibu la mwisho:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Lakini katika kesi ya mgawanyiko, mabadiliko katika mpangilio yanatoa ulinganifu wa nyingine, na katika kutoa, mabadiliko hutoa hasi ya nyingine. Kwa hivyo, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 na 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 na 5 ÷ 4=1.25 [katika kesi hii A, B ≠ 1 na 0
Kwa kweli, kutoa kunasemekana kuwa hakubadilishi; ambapo A – B=– (B – A).
Pia, viunganishi vya kimantiki, kiunganishi, mtengano, kidokezo, na usawa, pia ni vya kubadilisha. Vitendo vya ukweli pia ni vya kubadilisha. Muungano wa shughuli zilizowekwa na makutano ni za kubadilisha. Nyongeza na bidhaa ya scalar ya vekta pia ni za kubadilishana.
Lakini utoaji wa vekta na bidhaa ya vekta haibadilishi (bidhaa ya vekta ya vekta mbili haibadilishi). Nyongeza ya matrix ni ya kubadilisha, lakini kuzidisha na kutoa sio mabadiliko.(Kuzidisha kwa matriki mbili kunaweza kubadilika katika hali maalum, kama vile kuzidisha matrix yenye kinyume chake au matriki ya utambulisho; lakini kwa hakika matiti hazibadiliki ikiwa matiti si ya ukubwa sawa)
Mengi zaidi kuhusu Associative Property
Operesheni ya mfumo wa jozi inasemekana kuwa shirikishi ikiwa agizo la utekelezaji haliathiri matokeo wakati matukio mawili au zaidi ya opereta yanapo. Zingatia vipengele A, B na C na operesheni ya jozi ⊗. Operesheni ⊗ inasemekana kuwa shirikishi ikiwa
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Kutoka kwa vitendaji msingi vya hesabu, ni kuongeza na kuzidisha pekee ndiko kunakohusishwa.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Kutoa na kugawanya sio ushirika;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 na (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 na (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Muunganisho wa kimantiki wa muunganisho, unganishi, na ulinganifu ni shirikishi, kama vile muungano wa shughuli zilizowekwa na makutano. Nyongeza ya tumbo na vekta ni ya ushirika. Bidhaa ya scalar ya vekta ni ya ushirika, lakini bidhaa ya vekta sio. Kuzidisha kwa matrix ni shirikishi katika hali maalum pekee.
Kuna tofauti gani kati ya Commutative na Associative Property?
• Sifa shirikishi na sifa ya kubadilishana ni sifa maalum za utendakazi wa mfumo wa jozi, na nyingine inaziridhisha na nyingine haziridhishi.
• Sifa hizi zinaweza kuonekana katika aina nyingi za utendakazi wa aljebra na oparesheni zingine za mfumo wa jozi katika hisabati, kama vile makutano na muungano katika nadharia iliyowekwa au viunganishi vya kimantiki.
• Tofauti kati ya badiliko na ushirika ni kwamba mali ya kubadilishana inasema kwamba mpangilio wa vipengele haubadilishi matokeo ya mwisho wakati mali ya ushirika inasema kwamba utaratibu ambao operesheni inafanywa haiathiri jibu la mwisho..
