Cardinal vs Ordinal
Katika maisha yetu ya kila siku, matumizi ya nambari yanaweza kuwa tofauti katika hali tofauti. Kwa mfano, tunapohesabu ili kujua ukubwa wa mkusanyiko wa vitu, tunahesabu kama moja, mbili, tatu, na kadhalika. Tunapotaka kuhesabu kitu ili kupata maana ya nafasi ya vitu, tunahesabu kama ya kwanza, ya pili, ya tatu, na kadhalika. Katika fomu ya kwanza ya kuhesabu, nambari inasemekana kuwa nambari za kardinali. Katika fomu ya pili ya kuhesabu, nambari huzingatiwa kama nambari za kawaida. Katika muktadha huu, dhana kardinali na ordinal ni suala la isimu kabisa; kardinali na ordinal ni vivumishi.
Hata hivyo, upanuzi wa dhana hadi seti katika hisabati unaonyesha mtazamo wa kina na mpana zaidi na hauwezi kushughulikiwa kwa maneno rahisi. Katika makala haya, tutajaribu kuelewa dhana za kimsingi za nambari za kardinali na kanuni katika hisabati.
Ufafanuzi rasmi wa nambari za kardinali na kanuni hutolewa katika nadharia iliyowekwa. Fasili hizo ni ngumu na kuzielewa kwa maana kamili kunahitaji maarifa ya usuli katika nadharia iliyowekwa. Kwa hivyo, tutageukia mifano michache, ili kuelewa dhana hizo kiurithi.
Zingatia seti mbili {1, 3, 6, 4, 5, 2} na {basi, gari, feri, treni, ndege, helikopta}. Kila seti huorodhesha seti ya vipengele, na ikiwa tutahesabu idadi ya vipengele ni dhahiri kwamba kila moja ina idadi sawa ya vipengele, ambayo ni 6. Kufikia hitimisho hili tumechukua ukubwa wa seti moja na kulinganisha na nyingine kwa kutumia a. nambari. Nambari kama hiyo inaitwa nambari ya kardinali. Kwa hivyo, tunaweza kusema kwamba nambari ya kardinali ni nambari ambayo tunaweza kutumia kulinganisha saizi ya seti za mwisho.
Tena seti ya kwanza ya nambari inaweza kupangwa kwa mpangilio wa kupanda kwa kuzingatia ukubwa wa kila kipengele na kuvilinganisha. Katika mchakato wa kuagiza, nambari huzingatiwa kama kardinali. Vile vile, seti ya nambari zote zisizo hasi zinaweza kupangwa katika seti; yaani {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Lakini katika kesi hii, saizi ya seti inakuwa isiyo na kipimo, na kuipatia kwa suala la maagizo haiwezekani. Haijalishi ni nambari kubwa kiasi gani utakayochagua kutoa ukubwa wa seti, bado kutakuwa na nambari zitakazoachwa nje ya seti unayochagua na ambazo ni nambari kamili zisizo hasi.
Kwa hivyo, wanahisabati wanafafanua kardinali huyu asiye na kikomo (ambaye ndiye wa kwanza) kama Aleph-0, iliyoandikwa kama א (herufi ya kwanza katika alfabeti ya Kiebrania). Nambari ya kawaida ni aina ya mpangilio wa seti iliyopangwa vizuri. Kwa hivyo, nambari ya kawaida ya seti kamili inaweza kutolewa kwa nambari za kardinali, lakini kwa seti zisizo na kikomo ordinal inatolewa kwa nambari zisizo na kikomo kama vile Aleph-0.
Kuna tofauti gani kati ya Nambari za Kardinali na Ordinal?
• Nambari ya kadinali ni nambari inayoweza kutumiwa kuhesabu, au kutoa saizi ya seti yenye kikomo iliyoagizwa. Nambari zote za kadinali ni za waadilifu.
• Nambari za ordinal ni nambari zinazotumiwa kutoa saizi ya seti zenye kikomo na zisizo na kikomo zilizoagizwa. Ukubwa wa seti zenye kikomo zilizoagizwa hutolewa kwa nambari za kawaida za aljebra za Kihindu-Kiarabu, na saizi isiyo na kikomo ya seti hutolewa kwa nambari bainifu.
