Tofauti Kati ya Power Series na Taylor Series

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Power Series vs Taylor Series

Katika hisabati, mfuatano halisi ni orodha iliyopangwa ya nambari halisi. Hapo awali, ni kazi kutoka kwa seti ya nambari asilia hadi seti ya nambari halisi. Ikiwa _n ni istilahi n^th ya mfuatano, tunaashiria mfuatano huo kwa au kwa ₁, a ₂, …, a_n, …. Kwa mfano, zingatia mfuatano 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Inaweza kuashiria kama {1/n}.}

Inawezekana kufafanua mfululizo kwa kutumia mfuatano. Mfululizo ni jumla ya masharti ya mlolongo. Kwa hiyo, kwa kila mlolongo, kuna mlolongo unaohusishwa na kinyume chake. Ikiwa {a_{n} ni mfuatano unaozingatiwa, basi, mfululizo unaoundwa na mfuatano huo unaweza kuwakilishwa kama:}

Kwa hivyo, katika mfano ulio hapo juu, mfululizo unaohusishwa ni 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kama majina yanavyopendekeza, mfululizo wa nishati ni aina maalum ya mfululizo na hutumiwa sana katika Uchanganuzi wa Nambari na uundaji wa kihesabu unaohusiana. Mfululizo wa Taylor ni mfululizo maalum wa nishati ambao hutoa njia mbadala na rahisi kudhibiti ya kuwakilisha vipengele vinavyojulikana.

Mfululizo wa Nguvu ni nini?

Mfululizo wa nishati ni mfululizo wa fomu

ambayo inaunganika (inawezekana) kwa muda fulani unaozingatia c. Vigawo a_{nvinaweza kuwa nambari halisi au changamano, na haitegemei x; yaani kutofautisha dummy.}

Kwa mfano, kwa kuweka_n=1 kwa kila n, na c=0, mfululizo wa nishati 1+x+x² +…..+ x^{+… imepatikana. Ni rahisi kutambua kwamba wakati x ε (-1, 1), mfululizo huu wa nishati hubadilika hadi 1/(1-x).}

Mfululizo wa nishati huungana wakati x=c. Thamani nyingine za x ambazo mfululizo wa nishati huchanganyikiwa kila wakati zitachukua muundo wa muda ulio wazi unaozingatia c. Yaani, kutakuwa na thamani 0≤ R ≤ ∞ hivi kwamba kwa kila x inayotosheleza |x-c|≤ R, mfululizo wa nishati huungana na kwa kila x inayotosheleza |x-c|> R, mfululizo wa nishati ni tofauti. Thamani hii R inaitwa radius ya muunganiko wa mfululizo wa nishati (R inaweza kuchukua thamani yoyote halisi au infinity chanya).

Mfululizo wa nguvu unaweza kuongezwa, kupunguzwa, kuzidishwa na kugawanywa kwa kutumia sheria zifuatazo. Zingatia misururu miwili ya nishati:

Kisha,

yaani. kama maneno yanaongezwa au kupunguzwa pamoja. Pia, inawezekana kuzidisha na kugawanya mfululizo wa nishati mbili kwa kutumia kitambulisho,

Mfululizo wa Taylor ni nini?

Mfululizo wa Taylor hufafanuliwa kwa chaguo za kukokotoa f (x) ambazo zinaweza kutofautishwa kwa muda. Chukulia f (x) inaweza kutofautishwa kwa muda unaozingatia c. Kisha mfululizo wa nishati unaotolewa na

inaitwa upanuzi wa mfululizo wa Taylor wa chaguo za kukokotoa f (x) takriban c. (Hapa f⁽ⁿ⁾ (c) inaashiria n^{th derivative katika x=c). Katika Uchanganuzi wa Nambari, idadi maalum ya istilahi katika upanuzi huu usio na kipimo hutumika katika kukokotoa thamani katika sehemu ambazo mfululizo huungana kwa chaguo za kukokotoa asili.}

A chaguo za kukokotoa f (x) inasemekana kuwa uchanganuzi katika kipindi (a, b), ikiwa kwa kila x ε (a, b), mfululizo wa Taylor wa f (x) hubadilika na kuwa f (x). Kwa mfano, 1/(1-x) ni uchanganuzi wa (-1, 1), tangu upanuzi wake wa Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… hubadilika kuwa chaguo la kukokotoa kwenye kipindi hicho, na e}x ^{ni uchanganuzi kila mahali, kwa kuwa mfululizo wa Taylor wa e}x ^{huungana na kuwa e} x ^{kwa kila nambari halisi x.}

Kuna tofauti gani kati ya mfululizo wa Power na mfululizo wa Taylor?

1. Mfululizo wa Taylor ni aina maalum ya mfululizo wa nishati unaofafanuliwa tu kwa vitendakazi ambavyo vinaweza kutofautishwa kwa muda fulani.

2. Mfululizo wa Taylor huchukua fomu maalum

lakini, mfululizo wa nishati unaweza kuwa mfululizo wowote wa fomu