Tofauti Kati ya Milinganyo ya Tofauti ya Mstari na Isiyo ya Mstari

2024 Mwandishi: Alex Aldridge | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 13:51

Milingano ya Tofauti dhidi ya Linear dhidi ya Nonlinear

Mlinganyo ulio na angalau kigawe kimoja cha tofauti au kitoleo cha kigezo kisichojulikana hujulikana kama mlinganyo wa tofauti. Mlinganyo tofauti unaweza kuwa wa mstari au usio wa mstari. Upeo wa makala haya ni kueleza ni nini mlingano wa utofautishaji wa mstari, ni nini mlingano wa utofautishaji usio na mstari, na ni tofauti gani kati ya milinganyo ya tofauti ya mstari na isiyo ya mstari.

Tangu kutengenezwa kwa calculus katika karne ya 18 na wanahisabati kama Newton na Leibnitz, mlinganyo tofauti umekuwa na jukumu muhimu katika hadithi ya hisabati. Milinganyo tofauti ina umuhimu mkubwa katika hisabati kwa sababu ya anuwai ya matumizi. Milinganyo tofauti ndio kiini cha kila muundo tunaounda ili kueleza hali au tukio lolote duniani iwe katika fizikia, uhandisi, kemia, takwimu, uchambuzi wa fedha au baiolojia (orodha haina mwisho). Kwa hakika, hadi calculus ikawa nadharia imara, zana sahihi za hisabati hazikupatikana ili kuchanganua matatizo ya kuvutia katika asili.

Milinganyo inayotokana na matumizi mahususi ya kalkulasi inaweza kuwa changamano sana na wakati mwingine isiweze kutatulika. Walakini, kuna zile ambazo tunaweza kutatua, lakini zinaweza kuonekana sawa na za kutatanisha. Kwa hivyo, kwa utambulisho rahisi equations tofauti huwekwa kulingana na tabia zao za hisabati. Linear na nonlinear ni moja kama kategoria. Ni muhimu kutambua tofauti kati ya milinganyo ya tofauti ya mstari na isiyo ya mstari.

Mlinganyo wa Tofauti wa Linear ni nini?

Tuseme kwamba f: X→Y na f(x)=y, mlingano wa kutofautisha usio na masharti yasiyo ya mstari wa chaguo za kukokotoa y zisizojulikana na vinyago vyake vinajulikana kama mlingano wa tofauti za mstari.

Inaweka sharti kwamba siwezi kuwa na istilahi za juu zaidi za faharasa kama vile y², y^{3, … na vizidishi vya viingilio kama hivyo. kama}

Pia haiwezi kuwa na istilahi zisizo za mstari kama vile Sin y, e ^{y ^-2, au ln y. Inachukua fomu,}

ambapo y na g ni vitendaji vya x. Mlinganyo ni mlinganyo tofauti wa mpangilio n, ambayo ni faharasa ya derivative ya mpangilio wa juu zaidi.

Katika mlingano wa tofauti wa mstari, opereta tofauti ni opereta laini na suluhu huunda nafasi ya vekta. Kama matokeo ya asili ya mstari wa seti ya suluhisho, mchanganyiko wa mstari wa suluhisho pia ni suluhisho kwa usawa wa kutofautisha. Hiyo ni, ikiwa y₁ na y₂ ni suluhu za mlinganyo wa kutofautisha, basi C₁ y ₁+ C₂ y_{2 pia ni suluhisho.}

Mstari wa mlingano ni kigezo kimoja tu cha uainishaji, na kinaweza kuainishwa zaidi katika milinganyo ya namna moja au isiyo ya homojeni na milinganyo ya kawaida au sehemu ya tofauti. Ikiwa chaguo la kukokotoa ni g=0 basi mlinganyo ni mlinganyo wa tofauti wenye usawa. Ikiwa f ni chaguo la kukokotoa la viambajengo viwili au zaidi vinavyojitegemea (f: X, T→Y) na f(x, t)=y, basi mlinganyo huo ni mlinganyo wa utofauti wa sehemu.

Njia ya utatuzi wa mlingano wa kutofautisha inategemea aina na migawo ya mlingano wa tofauti. Kesi rahisi zaidi hutokea wakati coefficients ni mara kwa mara. Mfano wa kawaida wa kesi hii ni sheria ya pili ya Newton ya mwendo na matumizi yake mbalimbali. Sheria ya pili ya Newton hutoa mlingano wa utofautishaji wa kimstari wa mpangilio wa pili wenye viambatanisho visivyobadilika.

Mlinganyo wa Tofauti Usio Mstari ni nini?

Milingano ambayo ina maneno yasiyo ya mstari hujulikana kama milinganyo isiyo ya mstari.

Yote hapo juu ni milinganyo ya tofauti isiyo ya mstari. Milinganyo ya tofauti isiyo ya mstari ni ngumu kusuluhisha, kwa hivyo, uchunguzi wa karibu unahitajika ili kupata suluhisho sahihi. Katika kesi ya milinganyo ya sehemu tofauti, milinganyo mingi haina suluhu ya jumla. Kwa hivyo, kila mlinganyo lazima ushughulikiwe kivyake.

Mlinganyo wa Navier-Stokes na mlinganyo wa Euler katika mienendo ya umajimaji, milinganyo ya sehemu ya Einstein ya uhusiano wa jumla inajulikana sana milinganyo isiyo ya mstari ya tofauti isiyo ya mstari. Wakati mwingine utumiaji wa mlinganyo wa Lagrange kwa mfumo unaobadilika unaweza kusababisha mfumo wa milinganyo isiyo ya mstari ya sehemu tofauti.

Kuna tofauti gani kati ya Milinganyo ya Tofauti ya Linear na Isiyo ya Mstari?

• Mlingano wa kutofautisha, ambao una masharti ya mstari tu ya kigezo kisichojulikana au tegemezi na vinyago vyake, hujulikana kama mlingano wa tofauti za mstari. Haina neno na kigezo tegemezi cha faharasa zaidi ya 1 na haina viambishi vyovyote vyake. Haiwezi kuwa na chaguo za kukokotoa zisizo za mstari kama vile vitendakazi vya trigonometric, utendakazi wa kielelezo, na vitendakazi vya logarithmic kuhusiana na kigezo tegemezi. Mlinganyo wowote wa tofauti ambao una maneno yaliyotajwa hapo juu ni mlingano wa tofauti usio na mstari.

• Suluhisho za milinganyo ya mstari tofauti huunda nafasi ya vekta na opereta tofauti pia ni opereta wa mstari katika nafasi ya vekta.

• Masuluhisho ya milinganyo ya mstari tofauti ni rahisi kiasi na suluhu za jumla zipo. Kwa hesabu zisizo za kawaida, mara nyingi, suluhisho la jumla halipo na suluhisho linaweza kuwa maalum la shida. Hii hufanya suluhisho kuwa gumu zaidi kuliko milinganyo ya mstari.