Laplace vs Fourier Transforms
Mabadiliko ya Laplace na Fourier ni mageuzi muhimu, ambayo hutumiwa kwa kawaida kama mbinu za kihisabati kutatua mifumo ya kihisabati iliyoigwa. Mchakato ni rahisi. Muundo changamano wa hisabati hubadilishwa kuwa muundo rahisi, unaoweza kutatulika kwa kutumia kigeuzi muhimu. Mara tu muundo rahisi zaidi kutatuliwa, ugeuzaji shirikishi kinyume unatumika, ambao utatoa suluhisho kwa muundo asili.
Kwa mfano, kwa kuwa mifumo mingi halisi husababisha milinganyo tofauti, inaweza kubadilishwa kuwa milinganyo ya aljebra au kupunguza milinganyo ya utofauti inayoweza kutatulika kwa urahisi kwa kutumia badiliko muhimu. Kisha kutatua tatizo itakuwa rahisi.
Mabadiliko ya Laplace ni nini?
Kwa kuzingatia chaguo la kukokotoa f (t) la kigezo halisi t, ubadilishaji wake wa Laplace hufafanuliwa na kiunganishi [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (wakati wowote ipo), ambayo ni kazi ya kigezo changamano s. Kwa kawaida huashiriwa na L {f (t)}. Badiliko la kinyume cha Laplace la chaguo la kukokotoa F (s) linachukuliwa kuwa chaguo la kukokotoa f (t) kwa njia ambayo L {f (t)}=F (s), na katika nukuu ya kawaida ya hisabati tunaandika, L-1{ F (s)}=f (t). Ugeuzaji kinyume unaweza kufanywa kuwa wa kipekee ikiwa vitendakazi batili haviruhusiwi. Mtu anaweza kutambua hizi mbili kama waendeshaji wa mstari waliofafanuliwa katika nafasi ya kazi, na pia ni rahisi kuona kwamba, L -1{ L {f (t)}}=f (t), ikiwa vitendaji vibaya haviruhusiwi.
Jedwali lifuatalo linaorodhesha mabadiliko ya Laplace ya baadhi ya vitendaji vya kawaida.
Mabadiliko ya Fourier ni nini?
Kwa kuzingatia kitendakazi f (t) cha kigezo halisi t, ugeuzaji wake wa Laplace hufafanuliwa na kiunganishi [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (wakati wowote ipo), na kwa kawaida huashiriwa na F {f (t)}. Badiliko kinyume F -1{ F (α)} limetolewa na kiunganishi [lateksi] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourier transform pia ni ya mstari, na inaweza kufikiriwa kama opereta iliyofafanuliwa katika nafasi ya utendakazi.
Kwa kutumia kigeuzi cha Fourier, chaguo la kukokotoa la awali linaweza kuandikwa kama ifuatavyo mradi tu chaguo hili la kukokotoa lina idadi pungufu ya kutoendelea na linaweza kuunganishwa kabisa.
Kuna tofauti gani kati ya Laplace na Fourier Transforms?
- Mabadiliko manne ya kitendakazi f (t) yanafafanuliwa kama [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ambapo mabadiliko ya laplace yake yanafafanuliwa kuwa [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Mabadiliko manne hufafanuliwa tu kwa vitendakazi vilivyobainishwa kwa nambari zote halisi, ilhali Laplace transform haihitaji chaguo za kukokotoa kubainishwa kwenye kuweka nambari hasi halisi.
- Mabadiliko ya nne ni muundo maalum wa kibadilishaji cha Laplace. Inaweza kuonekana kuwa zote mbili zinalingana kwa nambari zisizo hasi halisi. (yaani take s katika Laplace kuwa iα + β ambapo α na β ni halisi hivi kwamba e β=1/ √(2ᴫ))
- Kila chaguo za kukokotoa zilizo na kigeuzi cha Fourier kitakuwa na kigeuzi cha Laplace lakini si kinyume chake.
