Utendaji Tofauti dhidi ya Utendaji Unaoendelea
Shughuli ni mojawapo ya madarasa muhimu zaidi ya vitu vya hisabati, ambayo hutumiwa sana katika karibu nyanja zote ndogo za hisabati. Kama majina yao yanavyopendekeza utendakazi tofauti na utendakazi endelevu ni aina mbili maalum za vitendakazi.
Chaguo za kukokotoa ni uhusiano kati ya seti mbili zilizofafanuliwa kwa njia ambayo kwa kila kipengele katika seti ya kwanza, thamani inayowiana nacho katika seti ya pili ni ya kipekee. Wacha f iwe kazi iliyofafanuliwa kutoka kwa seti A hadi seti B. Kisha kwa kila x ϵ A, ishara f (x) inaashiria thamani ya kipekee katika seti B inayolingana na x. Inaitwa picha ya x chini ya f. Kwa hivyo, uhusiano f kutoka A hadi B ni kazi, ikiwa na tu ikiwa kwa, kila xϵ A na y ϵ A; ikiwa x=y basi f (x)=f (y). Seti A inaitwa kikoa cha chaguo za kukokotoa f, na ni seti ambayo fomula ya kukokotoa imefafanuliwa.
Kwa mfano, zingatia uhusiano f kutoka R hadi R unaofafanuliwa na f (x)=x + 2 kwa kila xϵ A. Hili ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake ni R, kama kwa kila nambari halisi x na y, x=y inamaanisha f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Lakini uhusiano g kutoka N hadi N unaofafanuliwa na g (x)=a, ambapo 'a' ni sababu kuu za x sio chaguo la kukokotoa kama g (6)=3, na g (6)=2.
Kitendo cha kukokotoa tofauti ni nini?
Kitendakazi tofauti ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake kinaweza kuhesabika. Kwa urahisi, hii inamaanisha kuwa inawezekana kutengeneza orodha inayojumuisha vipengele vyote vya kikoa.
Seti yoyote yenye kikomo haiwezi kuhesabika. Seti ya nambari asilia na seti ya nambari za mantiki ni mifano kwa seti zisizohesabika zisizo na kikomo. Seti ya nambari halisi na seti ya nambari zisizo na maana hazihesabiki zaidi. Seti zote mbili hazihesabiki. Inamaanisha kuwa haiwezekani kutengeneza orodha inayojumuisha vipengele vyote vya seti hizo.
Mojawapo ya chaguo za kukokotoa za kawaida sana ni chaguo za kukokotoa za kipengele. f:N U{0}→N ikifafanuliwa kwa kujirudia na f (n)=n f (n-1) kwa kila n ≥ 1 na f (0)=1 inaitwa kipengele cha kukokotoa. Zingatia kuwa kikoa chake N U{0} kinaweza kuhesabika zaidi.
Je, utendakazi endelevu ni nini?
Acha f iwe fomula hivi kwamba kwa kila k katika kikoa cha f, f (x)→ f (k) kama x → k. Kisha f ni kazi inayoendelea. Hii ina maana kwamba inawezekana kufanya f (x) karibu kiholela na f (k) kwa kufanya x karibu vya kutosha na k kwa kila k katika kikoa cha f.
Zingatia chaguo za kukokotoa f (x)=x + 2 kwenye R. Inaweza kuonekana kuwa kama x → k, x + 2 → k + 2 yaani f (x)→ f (k). Kwa hiyo, f ni kazi inayoendelea. Sasa, zingatia g kwenye nambari halisi chanya g (x)=1 ikiwa x > 0 na g (x)=0 ikiwa x=0. Halafu, chaguo hili la kukokotoa si kazi endelevu kwani kikomo cha g (x) hakipo (na kwa hivyo si sawa na g (0)) kama x → 0.
Kuna tofauti gani kati ya utendaji tofauti na unaoendelea?
• Kitendakazi cha kipekee ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake kinaweza kuhesabika lakini si lazima iwe hivyo katika vitendakazi endelevu.
• Vitendaji vyote endelevu ƒ vina sifa ambayo ƒ(x)→ƒ(k) kama x → k kwa kila x na kwa kila k katika kikoa cha ƒ, lakini sivyo ilivyo katika baadhi ya vitendakazi tofauti..
